中学3年生数学 関数 y=ax2の変域

2021年11月25日

講師
講師
今日は関数y=ax2の変域の求め方について学習していくよ。
まずは次の問題について考えてみましょう。
問題(1)

生徒
生徒
難しいなぁ。
変域の問題を解く際のポイントとか何かありませんか。
講師
講師
変域の問題はグラフを利用して考えると分かりやすいですよ。
まずは簡単な放物線のグラフを書き、xの変域の部分で切り取ってみます。
その際、この関数は、a>0なので上に開くグラフになることに注意しましょう。
そうすると、①、②のグラフは下のようになります。
function-domain002
function-domain003
講師
講師
次にグラフを見ながらy=1/2 x2 の xに値を代入して、yの値の最大値と最小値を求めます。
最大値はグラフの1番高い所、最小値は1番低い所のyの値になります。
そして 最小値≦y≦最大値 がyの変域になります。
function-domain004
生徒
生徒
②のようにxの変域に0が含まれるときは、最小値も0になるので注意が必要ですね。
講師
講師
その通りです。ではこれまでのポイントを踏まえて,もう1問解いてみましょう。
問題(2)

生徒
生徒
今度の関数はa<0なので、下に開くグラフのようになります。 グラフと答えはそれぞれ下のようになります。
function-domain07
function-domain08
講師
講師
完璧です!よく出来ました。では次が最後の問題です。
問題(3)
関数 y=ax2で、xの変域が -1≦x≦3のときの yの変域が b≦y≦18である。
このとき、a、bの値をそれぞれ求めなさい。
生徒
生徒
今度はaの値が分かっていないので、グラフが上・下どちらに開くのか分からないですね。
講師
講師
そうですね。こういったときは、yの変域の値に注目します。

b≦y≦18のように yの変域に正の数が含まれているときや、0≦y≦bのように最小値が0になっているときは、上に開くグラフになります。
反対に-3≦y≦bのように yの変域に負の数が含まれているときや、b≦y≦0のように最大値が0になっているときは下に開くグラフになります。

生徒
生徒
なるほど。この問題ではyの変域に正の数が含まれているので上に開くグラフになりますね。そうすると、グラフは下のようになります。 グラフを見るとx=3のときy=18となるので、y=ax^2に代入して計算するとa=2となります。また yの変域は0≦y≦18であることが分かるので、b=0です。
function-domain09
function-domain10
講師
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正解です!他にも変域の問題には色々なパターンがあるので、ぜひチャレンジしてみて下さい。

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