令和3年長野県公立高校入試問題 数学問2 Ⅱ(1)解説

数学問2 Ⅱ(1)

春さんの学校では、生徒会企画の運動会の準備を進めている。

(1)水を運ぶ競技で使うために、図4のような、水を入れる容器PとQを準備した。Pは半径4cmの半球、Qは底面の半径が4cm、高さが8cmの円錐である。ただし、容器の厚さは考えないものとする。

① Qに水をいっぱいに入れたときの水の体積Vを求める次の式について、【あ】に当てはまる数を書きなさい。

② PとQそれぞれに水をいっぱいに入れたときの水の体積を比較したとき、どのようなことはいえるか、最も適切なものを次のア~ウから1つ選び記号を書きなさい。また、そのようにいえる理由を説明しなさい。

ア PとQの水の体積は等しい。
イ Pの水の体積の方が大きい。
ウ Pの水の体積の方が小さい。

解説と解答

① Qの円錐の体積は以下の公式で求めることができます。

上の公式に、問題文より底面積(円の面積=4×4×π)と高さ8cmを代入すると、円錐の体積=42π×8×1/3で求められ、【あ】に当てはまるのは、1/3となります。

② Pの半球(球の半分)の体積は、以下の公式を半分(1/2)にして求めることができます。

上の公式に、問題文より半径4cmを代入すると、半球の体積=4/3π×43×1/2で求められ、=128/3πとなります。

①より、Qの体積は、=42π×8×1/3で求められるので、=128/3πとなります。

よって、PとQはいずれも同じ体積128/3πcm3となり、答えは、ア PとQの水の体積は等しい。となります。

またその理由は、上記の計算式をまとめて、

PとQの体積がP:Q=1:1となっているから、PとQの水の体積は等しい。

POINT!
理由の説明書きのは、採点のポイントとして、”PとQがそれぞれ体積が同じになる計算式”と”PとQの体積比が1:1になっていること”が書かれていればOKです。