2025【川中島校】２学期期末テストの解き方：中２数学

今回は…
一次関数の問題をピックアップするよ

\(下の図のように、\)
\(直線\:ℓ\:と直線\:m\:が点\:A\:で交わっている。\)
\(直線\:ℓ\:の傾きは1、直線\:m\:の傾きは-1である。\)
\(また、直線\:ℓ\:と\:y\:軸との交点をＢ、\)
\(直線\:m\:と\:y\:軸との交点を\:C\:とし、\)
\(直線\:ℓ\:と直線\:m\:の\:x\:軸との交点は\)
\( それぞれ(2,0)、(14,0)とする。\)
\(このとき、次の問いに答えなさい。\)

（1）点Aの座標を求めなさい。

は－い🙋‍♀️
では始めていきましょ。

一次関数のグラフの問題だね💡

一次関数のポイントは…

☝️式が出てれば通る点の座標が出せる
✌️通る点の座標が出てれば式が出せる

基本この繰り返しだね。

この問題は点Aの座標を求めなさい。ってことだよね。
交点の座標は交わる２直線の式を連立方程式で解くと出せるから。
だから、とりあえずℓとmの式を出さないとだね。

まずは一次関数の式がどう表せるかだね。
うらのさん、お願いします🙏

おまかせください✍️

一次関数の式は…

\(\bbox[pink,4px]{\:y=ax+b}\)で、
\(\bbox[pink,4px]{\:a\:は傾き}で、\bbox[pink,4px]{\:b\:が切片}だよね。\)

こうだったような…。

つきは先生いいですか？

OK👌
いい感じで知識が入ってるね✨

では、

\(まずは直線\:ℓ\:の式から出してみよう❗\)

\(\large{直線\:ℓ\:の傾きは1で、}\)
\(\large{x\:軸との交点は\:(2,0)\:}\)
\(って、問題に書いてある。\)

さあ、うらのさん、やってみよう✍️

ほーい🤚

\(直線\:ℓ\:は…\)
\[\:y=ax+b\]
\(傾きが、1だから、aは1ってことなので\)
\[y=x+b\]
ここに、座標が(2,0)なので…
\(x\:に2、y\:に0を代入して\)
\[0=2+b\]
\(見にくいから、左辺と右辺を入れ替えて…\)
\[2+b=0\] \[b=-2\]
これを代入して
\[\bbox[orange,4px]{y=x-2}\]

つきは先生できました❗

すばらしい👏

ではでは、

\(直線\:m\:の式もお願いします❗\)

ちなみに
\(直線\:m\:の傾きは-1で、\)
\(x\:軸との交点は\:(14,0)\:って\)
\(問題に書いてあるよ。\)

いけるよ😆

\(直線\:m\:は…\)
\[\:y=ax+b\]
\(傾きが、-1だから、aは-1だから\)
\[y=-x+b\]
座標が(14,0)なので…
\(x\:に14、y\:に0を代入して\)
\[0=-14+b\]
\(見にくいから、左辺と右辺を入れ替えて…\)
\[-14+b=0\] \[b=14\]
これを代入して
\[\bbox[lightgreen,4px]{y=-x+14}\]

つきは先生、OKでしょ❓

めっちゃいいね🎉

これで２つの直線の式がでました。
これで交点の座標が求められるね👍

２つの直線が同じ点を通らないといけない。
たから、両方の式で成り立つものが欲しい。
そこで、連立方程式の解を求めるってことだね。

うらのさん、あとはおまかせしやす😆

かしこまりました🙌

\[直線\:ℓ\:は\:y=x-2\] \[直線\:m\:は\:y=-x+14\]
これを連立してっと
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y = x – 2・・・①\\ y = -x + 14・・・② \end{array} \right. \end{eqnarray} ②に①を代入して
\[x-2=-x+14\] 文字は左辺、数字は右辺に移行すると
\[x+x=14+2\] \[2x=16\] \[x=8\] \(x=8を①に代入\)
\[y=8-2\] \[y=6\] できた。
なので点Aの座標は…
\[\bbox[pink,4px]{(8,6)}\] になるね。

つきは先生、正解っすか？

うーん。かんぺき🎊

こんな感じだね。
交点の座標を求める問題はある程度はパターンだね💡

何回も繰り返し解いておくとほぼ困らないよ✨

（2）△ABCの面積を求めなさい。

とりあえず△ABCだから

この青い三角形ってことだ…
三角形の面積だから
【底辺と高さ】が分からないとだね…
でも辺の長さがひとつもない…

つきは先生、ちょっとヒントくださいな🙏

OK👌

この三角形を見たとき、斜めになってる辺の長さは
なかなか出しにくいよ。

\(だから、\:x\:軸か\:y\:軸に平行な辺なら\)
\(辺の長さは求めやすい❗\)
\(そして、そこを【底辺】と考えましょう。\)
\(そうすると高さも簡単に分かることが多いよ。\)

そう考えると…
うらのさん、どうなるかな❓

そっかぁ😀

じゃ、辺BCを底辺☝️
点Aから辺BCに垂線をひくとその長さが高さだね💡

図に赤ペンで入れるとこんな感じかな。
点Aもさっきの問題で分かったから座標書き込んでみました。

……うーん。
ただ、BCの長さわかんないよ…

つきは先生、どうする❓

うん？

せっかく図に入れてみたんだから、よく見てごらん❗
BとＣの座標は出せるんじゃない💡

問題にも、
\(直線\:ℓ\:と\:y\:軸との交点をＢ、\)
\(直線\:m\:と\:y\:軸との交点を\:C\:とし、\)
って書いてくれてあるじゃない。

\(\:y\:軸との交点のこと一般的になんて呼んでるっけ❓\)

切片でしょ。
…うん？切片…
あ、さっき直線の式出てるからもうわかってるはず❗

一次関数の式は…

\[直線\:ℓ\:は\:y=x-2\] \[だから、切片は-2\] \[なので、\bbox[orange,4px]{点Bの座標は(0,-2)}\]
\[直線\:m\:は\:y=-x+14\] \[だから、切片は14\] \[なので、\bbox[lightgreen,4px]{点Cの座標は(0,14)}\]

こうですよね❓
つきは先生。