【青木島校】１学期期末テストの解き方：中２数学
今回の問題はこちら
円錐の底面の半径を４倍、高さを２倍にすると体積は元の円錐の何倍になるか。 求めなさい。
あー💦文字を使った説明の問題だね。
文字を使って何倍か考えさせる問題だね👍
とりあえず、中１範囲の円錐の体積の知識が必要になるね。
まずはそこからだね！
ゆうしさん、円錐の体積の求め方って覚えてる？
ほ－い。
たしか…💡
\[\bbox[pink,4px]{底面積\times高さ\times\frac{1}{3}}\]
だった気がします。
Goodjob!
うん。OK！
ここでひとつ確認しておっこっか。
円錐の底面ってどんな形してるんだっけ？
円錐の底面ってどんな形してるんだっけ？
底面は…円だよね。
円すいっていうぐらいだから。
ちなみに円の面積の求め方は
\[\bbox[lightgreen,4px]{半径\times半径\timesπ}\] 公式の書き方だと
\[\bbox[lightgreen,4px]{πr^2}\]
だね。
\[\bbox[lightgreen,4px]{半径\times半径\timesπ}\] 公式の書き方だと
\[\bbox[lightgreen,4px]{πr^2}\]
その通り👍
よく覚えてたね😄
円錐の実際の底面の半径と高さは分からないよね。
なのでこれを文字でおいて表してみよう。
なのでこれを文字でおいて表してみよう。
\(底面の半径を【r】,円錐の高さを【h】とおく\)
そうするとどうなるかな？ゆうしさん。
図で表すとこんな感じだね。
OK！まかせておいて✍️
\[\bbox[pink,4px]{底面積\times高さ\times\frac{1}{3}}\]
を文字に置き換えればいいだけだよね。
\(底面積は【半径×半径×π】で半径が【r】\)
\(高さは【h】だから\) \[r\times\:r\timesπ\times\:h\times\frac{1}{3}\] まとめて
\[\bbox[pink,4px]{\frac{1}{3}πr^2h}\]
でいい感じだよね。
\(高さは【h】だから\) \[r\times\:r\timesπ\times\:h\times\frac{1}{3}\] まとめて
\[\bbox[pink,4px]{\frac{1}{3}πr^2h}\]
Exactly!
これで元の円錐の面積はいいよね。
この円錐の底面の半径を4倍、高さを2倍にすると
そうするとどうなるかな？ゆうしさん。
\(底面の半径【4\times\:r=4r】\)
\(高さ\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:【2\times\:h=2h】\)
だってことだね。\(高さ\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:【2\times\:h=2h】\)
そうするとどうなるかな？ゆうしさん。
図にするとこんな感じだね。
ただ、変えればいいだけっしょ✨
\[\bbox[wheat,4px]{底面積\times高さ\times\frac{1}{3}}\]
を変えればいいだけだね。
\(底面積は【半径×半径×π】で半径が【4r】\)
\(高さは【2h】だから\) \[4r\times\:4r\timesπ\times\:2h\times\frac{1}{3}\] まとめて
\[\bbox[wheat,4px]{\frac{32}{3}πr^2h}\]
でいい感じだよね。
\(高さは【2h】だから\) \[4r\times\:4r\timesπ\times\:2h\times\frac{1}{3}\] まとめて
\[\bbox[wheat,4px]{\frac{32}{3}πr^2h}\]
うーん!
すばらしい。
ここでよくあるミスをご紹介。
じゃあ、問題を一回整理しよう。
もとの円錐と新しい円錐の体積はどう表せたかな？
こうやって情報を整理してくのってすごく大事。
自分がいま何をしてるのか確認しながら進めよう！
\(底面積の部分で公式使ったとき。\)
\(4πr^2ってしちゃいがち。\)
\(だから、公式あまり使わずに\)
\(【半径×半径×π】で計算した方がミスは減るよ！\)
\(4πr^2ってしちゃいがち。\)
\(だから、公式あまり使わずに\)
\(【半径×半径×π】で計算した方がミスは減るよ！\)
じゃあ、問題を一回整理しよう。
もとの円錐と新しい円錐の体積はどう表せたかな？
こうやって情報を整理してくのってすごく大事。
自分がいま何をしてるのか確認しながら進めよう！
そうだね👍
そうしてくと次に何するかも分かりやすいかも😄
もとの円錐の体積は
\[\bbox[pink,4px]{\frac{1}{3}πr^2h}\]
新しい円錐の体積は
\[\bbox[wheat,4px]{\frac{32}{3}πr^2h}\]
です！いいね👍
ここで整理できたから…
問題は、
【新しい円錐の体積は元の円錐の体積の何倍か？】
だよね。
ゆうしさん、どう計算したらいいでしょう？
\(【新しい】は【もと】の何倍ですか？だから…\)
\(【新しい】\div【もと】だね。\)
となると… \[\bbox[wheat,4px]{\frac{32}{3}πr^2h}\div\bbox[pink,4px]{\frac{1}{3}}πr^2h\]
これを計算\(【新しい】\div【もと】だね。\)
となると… \[\bbox[wheat,4px]{\frac{32}{3}πr^2h}\div\bbox[pink,4px]{\frac{1}{3}}πr^2h\]
分数の横の文字は分数の上にのせるものだから
\[\bbox[wheat,4px]{\frac{32πr^2h}{3}}\div\bbox[pink,4px]{\frac{πr^2h}{3}}\] わり算をかけ算にして
\[\frac{32πr^2h}{3}\times\frac{3}{πr^2h}\] 約分して
\[\frac{32\bbox[lightseagreen,4px]{πr^2h}}{\bbox[powderblue,4px]{3}}\times\frac{\bbox[powderblue,4px]{3}}{\bbox[lightseagreen,4px]{πr^2h}}\] だから
\[\large{32}\]
\[\bbox[wheat,4px]{\frac{32πr^2h}{3}}\div\bbox[pink,4px]{\frac{πr^2h}{3}}\] わり算をかけ算にして
\[\frac{32πr^2h}{3}\times\frac{3}{πr^2h}\] 約分して
\[\frac{32\bbox[lightseagreen,4px]{πr^2h}}{\bbox[powderblue,4px]{3}}\times\frac{\bbox[powderblue,4px]{3}}{\bbox[lightseagreen,4px]{πr^2h}}\] だから
\[\large{32}\]
\(\large{答えは32倍です!}\)
That’s correct💫
すばらしい！
つまり、円錐の半径を4倍、高さを2倍にすると、体積は32倍になるってこと。
ふーん。
円錐でも底面の半径がちょっと大きくなると
ものすごく体積が増えるんですね！
That’s true💡
特に円柱や円錐の場合は底面が円だから大きくなるね。
いい気づきがあったね✨
ITTO個別指導学院長野では、こんな感じで授業を進めていくよ。
お話しながら、解答をしっかり導けるように過程を大事にしています。
文字だけだと伝わらない部分って多いもの…
実際に体験してみて、お話してください。
みなさん、お待ちしています！