令和5年長野県公立高校入試問題　数学問4解説

AB＝6、AP＝2より、PB＝AB－AP=6－2＝4
線分PBとBCは円Bの半径なので、PB＝BC
よってBC＝4

（答）4 cm

（2）1　円Oの半径より、PC＝PB
円Bの半径より、BC＝PB
よってPC＝BC＝PBとなるので△PBCは正三角形である。

正三角形の1つの内角は60°なので∠PCB＝60°
また、∠ACBは円Oの半円の弧に対する円周角なので∠ACB＝90°
よって∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝90°－60°＝30°

（答）30°

（2）2　1より△PBCは正三角形なので、∠CPE=60°
またAB⊥CDより、∠CEP＝90°

このことから、△PCEにおいて直角三角形の３辺の比より
PC：CE＝2：√3

円Oの半径より、PC=3なので、3：CE＝2：√3
これを解いて　CE＝（3√3）/2

また△PCE≡△PDEよりCE＝DE
よってCD＝CE×2＝（3√3）/2×2＝3√3

（答）3√3cm

1）円周角の定理で、半円の弧に対する円周角は90°であることを利用すると、∠ACBは円Ｏの半円の弧ABに対する円周角なので、
∠ACB＝90°となる。

（答）(例)∠ACBは円Oの半円の弧に対する円周角

予想【1】の証明

△ABCと△CBEで、『（あ）∠ACBは円Oの半円の弧に対する円周角』だから、∠ACB＝90°
AB⊥CDだから、∠CEB＝90°
よって、∠ACB＝∠CEB …①

『（い）∠ABCは共通な角だから、
∠ABC＝∠CBE…②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△CBE』

予想【2】の証明

『（あ）∠ACBは円Oの半円の弧に対する円周角』だから、∠ACB＝90°
∠ACB＝∠ACP＋∠PCBより
∠ACP＝90°－∠PCB…①
AB⊥CDだから、△CPEは∠CEP=90°の直角三角形であり、
∠CEP＝90°－∠CPE…②

『（う）BCとBPは円Bの半径なので、BC＝BPである。
△BCPにおいて、2つの辺が等しいので、△BCPは
二等辺三角形である。』

よって、∠PCB＝∠『（え）CPE』…③
①、②、③より、∠ACP=∠PCE
したがって、線分CPは∠ACEを二等分する。

①　PB=AB－AP=6－4=2、また円Ｂの半径よりPB=BC=2
△ACBは∠C＝90°の直角三角形なので、三平方の定理よりAC²+BC²=AB²となるから、AC²+2²=6²を解いてAC＝4√2

(3)より△ABC∽△CBEなので、対応する辺の比は等しいから、AC：CE＝AB：CBとなる。

よって4√2：CE＝6：2を解いて、CE＝(4√2)/3
同様に、CB：EB＝AB：CBより2：EB＝6：2を解いて
EB＝2/3，さらにPE＝PB－EB＝2－2/3＝4/3
よって、△CEPの面積は、
PE×CE×1/2＝4/3×(4√2)/3×1/2=(8√2)/9

（答）　(8√2)/9cm

②　△PECは∠E=90°の直角三角形なので三平方の定理より
PE²+CE²=PC²

①よりPE=4/3，CE=(4√2)/3 であるから
(4/3)²+((4√2)/3)²＝PC²を解いて、PC=(4√3)/3
また△BCP≡△BDPよりPC=PD＝(4√3)/3

ここで△BDPと△GAPにおいて△BDP∽△GAPより相似比は
DP：AP=(4√3)/3：4　よって面積比は、
△BDP：△GAP=((4√3)/3)²：4²=1：3
△BDP≡△BCPより、△BDPと△BCPの面積は等しいので
△BCPと△GAPの面積比も1：3

（答）　1：3